積分　sec^2x

${\displaystyle \int {sec}^{2}xdx}$

${\displaystyle tanx}$の微分(参照)を考えると

${\displaystyle {\left(\tan x\right)}^{\prime }=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}$${\displaystyle =\frac{1}{{\cos }^{2}x}}$

ここで

${\displaystyle secx=\frac{1}{cosx}}$

なので，${\displaystyle tanx}$の微分(参照)は以下のようになる．

${\displaystyle {\left(tanx\right)}^{\prime }={sec}^{2}x}$

積分はこの逆の操作をすることなので，${\displaystyle {sec}^{2}x}$を積分すると${\displaystyle tanx}$になるのである．これを利用すると

${\displaystyle \int {sec}^{2}xdx=tanx+C}$

となる．

●${\displaystyle \tan \frac{x}{2}=1}$ とおく置換積分で計算する方法

${\displaystyle dx=\frac{2}{1+t^2}dt}$　　･･････(1)

${\displaystyle \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}}$　　･･････(2)

(1)，(2)についてはここを参照

${\displaystyle {\displaystyle \int {\sec }^{2}xdx}={\displaystyle \int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle \int \frac{1}{{\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)}^2}\frac{2}{1+t^2}dt}}$ ${\displaystyle =2{\displaystyle \int \frac{1+t^2}{{\left(1-t^2\right)}^2}dt}}$

${\displaystyle =2{\displaystyle \int \frac{1}{2}\left\{\frac{1}{{\left(1-t\right)}^2}+\frac{1}{{\left(1+t\right)}^2}\right\}dt}}$

ここを参考に積分する．

${\displaystyle ={\displaystyle \int \left\{\frac{1}{{\left(1-t\right)}^2}+\frac{1}{{\left(1+t\right)}^2}\right\}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{1-t}-\frac{1}{1+t}+C}$

${\displaystyle =\frac{2t}{1-t^2}+C}$

変数を $t$ から $x$ に戻す．

${\displaystyle =\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1-{\left(\tan \frac{x}{2}\right)}^2}+C}$

${\displaystyle =\frac{2\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{1-{\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}\right)}^2}+C}$

${\displaystyle =\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{{\left(\cos \frac{x}{2}\right)}^2-{\left(\sin \frac{x}{2}\right)}^2}+C}$

2倍角の公式を適用する．

${\displaystyle =\frac{\sin x}{\cos x}+C}$

${\displaystyle =\tan x+C}$

　

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最終更新日 2024年7月5日